開成高校確率問題: マサル君 vs ハルオ君の3勝勝負、1回戦敗退者の逆転確率は!?

問題

マサル君とハルオ君は、先に3勝した方が優勝となる試合を行います。各試合において、引き分けの可能性はありません。また、マサル君とハルオ君のそれぞれの勝利確率は等しいとします。

質問: 1試合目に負けたプレイヤーが最終的に優勝する確率はいくつですか？

解答と解説

（ⅰ）4回目で優勝が決まる場合
最初に負けた後、3連続で勝つ確率は ( 1 / 2 ) ³ = 1 / 8 です。 

（ⅱ）5回目で優勝が決まる場合
最初に負けた後、1勝して1回負け、その後2連勝する確率を考えます。この場合の勝ち、負けの順番は以下の4通りです。

・勝ち、負け、勝ち、勝ち 

・負け、勝ち、勝ち、勝ち 

・勝ち、勝ち、負け、勝ち 

・勝ち、勝ち、勝ち、負け 

これらの順番のうち、最後の順番は優勝が決まらないので、残りの3通りを考慮します。それぞれの確率は (1/2) ⁴ ですので、
合計は 3 × ( 1 / 2 ) ⁴ = 3 / 16 

したがって、最初の試合に負けたプレイヤーが最終的に3勝する確率は
 1 / 8 + 3 / 16 = 5 / 16または 31.25% です。