2026年5月21日
明治大学付属中野高等学校 2025年度 数学
大問２（２） √( 2025 / n ) が整数になる n の個数
平方数と素因数分解で解く — 解法の型を丁寧に整理
| PROBLEM |
√( 2025 / n ) が整数となるような自然数 n は何個あるか。 |
ANSWER
答え：6 個
STEP 1
条件を言い換える
まず「√（何か）が整数になる」とはどういうことか、整理しよう。
√A が整数 ⟺ A は平方数（1, 4, 9, 16, 25, …）
※ この問題では A = 2025 / n は正の数なので、平方数は 1, 4, 9, … です。
したがって、この問題の条件はこう言い換えられる。
「 2025 / n が平方数になる 」自然数 n を求めよ
STEP 2
2025 を素因数分解する
2025 を素因数分解すると次のようになる。
2025 = 45² = 3⁴ × 5²
【計算の手順】
2025 ÷ 3 = 675 → 675 ÷ 3 = 225 → 225 ÷ 3 = 75 → 75 ÷ 3 = 25 → 25 ÷ 5 = 5 → 5 ÷ 5 = 1
よって 2025 = 3⁴ × 5²
指数が 4（偶数）と 2（偶数）なので、2025 は完全な平方数 45² であることが確認できる。
STEP 3
2025 / n を k とおいて整理する
ここで、2025 / n = k とおく。
STEP1より、求める条件は「k が平方数」である。
【なぜ n は 2025 の約数に限られるか】
√( 2025 / n ) が整数なら、その中身 2025 / n は「整数の2乗」です。
つまり 2025 / n は分数ではなく整数でなければなりません。
そのため、n は 2025 を割り切る数、すなわち 2025 の約数に限られます。
【k と n の一対一対応】
平方数 k が1つ決まれば、n = 2025 / k も1つだけ決まります。
逆に、条件を満たす n が1つ決まれば、k = 2025 / n という平方数も1つ決まります。
だから、求める n の個数 ＝ 2025 の平方数の約数の個数 になります。
あとは「2025 の約数のうち、平方数であるもの」を全部見つければよい。
STEP 4
平方数の約数を列挙する
2025 = 3⁴ × 5² の約数が平方数になるには、3 と 5 の指数がどちらも偶数でなければならない。
選べる指数はこうなる。
| 素因数 | 選べる指数（偶数のみ） | 通り数 |
|---|---|---|
| 3 | 0, 2, 4 | 3通り |
| 5 | 0, 2 | 2通り |
組み合わせは 3 × 2 ＝ 6通り。平方数 k は小さい順に次の6個：
k = 1, 9, 25, 81, 225, 2025
それぞれに対応する n = 2025 / k を求めると：
| 平方数 k | 3の指数 | 5の指数 | n = 2025 ÷ k | 確認：√( 2025/n ) |
|---|---|---|---|---|
| 1 | 0 | 0 | 2025 | √1 = 1 ✓ |
| 9 | 2 | 0 | 225 | √9 = 3 ✓ |
| 25 | 0 | 2 | 81 | √25 = 5 ✓ |
| 81 | 4 | 0 | 25 | √81 = 9 ✓ |
| 225 | 2 | 2 | 9 | √225 = 15 ✓ |
| 2025 | 4 | 2 | 1 | √2025 = 45 ✓ |
SOLUTION
条件を満たす n は
n = 1, 9, 25, 81, 225, 2025
全部で 6 個
⚠️ よくあるミス
| ❌ ミス | ◎ 正しい考え方 |
| 2025 の約数をすべて答えにしてしまう | 約数のうち「2025/n が平方数になるもの」だけが対象 |
| n = 3, 5 なども入れてしまう | 2025 ÷ 3 = 675 → √675 は整数にならない |
| 素因数分解をせずに平方数を暗算で探す | 3⁴ × 5² に分解して「指数が偶数かどうか」を確認する |
この問題の「型」を覚えよう
【パターン】√( A / n ) が整数になる n の個数
① A を素因数分解する
② A / n = k とおく（k が平方数）
③ A の約数のうち、指数がすべて偶数のもの（＝平方数）を選ぶ
④ その個数が求める n の個数
2025 = 45² のように、西暦がきれいな平方数になる年は、このような問題を作りやすくなります。
高校入試の整数・平方根の問題として、類題として練習しておきたい形です。
※ 本記事は、入試問題を参考に学習用に表現を整理して解説したものです。解説・表・構成は YBA教育研究会 によるオリジナルです。
🔑 練習問題
TRY
√( 1764 / n ) が整数となるような自然数 n は何個あるか。
ヒント：まず 1764 を素因数分解してみよう。
【解答】 1764 = 2² × 3² × 7²
各指数の選び方：2 → {0, 2}（2通り）、3 → {0, 2}（2通り）、7 → {0, 2}（2通り）
平方数 k の個数：2 × 2 × 2 = 8通り
対応する n = 1764 / k は：
n = 1, 4, 9, 36, 49, 196, 441, 1764 → 答え：8 個
YBA教育研究会 ｜ 世田谷・経堂 小田急線沿線
中学受験 ・ 高校受験 ・ 大学受験
YBA教育研究会では、各教科の学習を、単なる暗記や作業ではなく、「なぜそうなるのか」を考えるところから指導しています。
世田谷・経堂で完全1対1の個別指導をお探しの方は、ぜひご覧ください。 → 経堂の完全1対1個別指導｜YBA教育研究会の指導内容はこちら