2023年12月14日
問題
あなたは金貨と銀貨、それぞれ一枚ずつを同時に投げる試行を行います。この試行は以下のように点数を得ます。
- 金貨が裏の場合、0点を得ます。
- 金貨が表で銀貨が裏の場合、1点を得ます。
- 金貨と銀貨が両方とも表の場合、2点を得ます。
この試行を合計5回行い、それぞれの試行で得た点数の合計をX とします。
問題： この5回の試行で、合計点数X がちょうど1点になる確率を求めてください。
問題の解説
まず、金貨と銀貨を投げる試行における各点数の確率を計算します。
・0点 (A): 金貨が裏の場合。金貨が裏になる確率は 1 /2 です。
・1点 (B): 金貨が表で銀貨が裏の場合。それぞれ独立に表裏が出るので、
この確率は1 /2✕1 /2＝1 /4です。
・2点 (C): 金貨も銀貨も表の場合。この確率も1 /4です。
次に、5回の試行で合計点数が1点になる場合を考えます。これは、4回0点を取り（A）、1回1点を取る（B）場合のみです。2点（C）が出ると、合計点数が1点を超えてしまうため、Cは考慮しません。
5回の試行の中で、1点を取る試行（B）がどのタイミングで発生するかは5通りあります（1回目、2回目、…、5回目）。これらのそれぞれの場合で、残りの4回は0点（A）を取る必要があります。
解答
各試行の確率を掛け合わせて、5通りの場合の確率を合計します。
・各試行でBが発生する確率:1 /4
・各試行でAが発生する確率:1 /2
・4回Aと1回Bが発生する確率:(1/4)⁴✕1 /4＝1/64
5回の試行の中で、Bが1回だけ発生する場合の数は5通りなので、合計確率は
5×1/64=5/64になります。
したがって、合計点数が1点になる確率は 5/64です。