2025年3月20日
フラクタルとは？
生徒：「フラクタルって何ですか？ なんか難しそうな響きですね…。」
先生：「そう思うかもしれないね。でも、実はフラクタルは自然界のあちこちにあるんだよ。」
生徒：「自然界に！？ 数学の話なのに？」
先生：「そう。フラクタルは『どれだけ拡大しても、同じような形が繰り返される図形』のことを言うんだ。例えば、こんなものがフラクタルっぽいよ。」
- シダの葉 ：全体の形と、小さな部分の形がそっくり
- 雪の結晶 ：どんなに細かくしても、似たような構造が出てくる
- カリフラワー ：どの部分を切り取っても、似たような形が見える
生徒：「え、本当だ！ シダの葉とか、確かに全体の形と小さい部分が似てますね！」
先生：「そうでしょ？ そして、数学で作られるジュリア集合やマンデルブロ集合も、こうした自己相似性を持っているんだよ。」
ジュリア集合とは？
生徒：「ジュリア集合ってどういうものなんですか？」
先生：「ジュリア集合は、次のような数式を使って作られるんだ。」
z_{n+1} = z_n^2 + c
生徒：「うわ…数式が出てきた。急に難しくなりそう…。」
先生：「そんなに構えなくて大丈夫！ ざっくり説明すると、こういうルールで計算していくんだ。」
- zzz は複素数（実数＋虚数の数）
- ccc は固定する値（これがジュリア集合の形を決める）
- この計算を何度も繰り返して、値が発散するかどうかを調べる
生徒：「なるほど…。でも、それでどうやって図形ができるんですか？」
先生：「それでは、ジュリア集合の作り方を説明しよう。」
- 複素平面上の点（z0z_0z0）を選ぶ
- 上の数式で計算を繰り返す
- 発散しなければジュリア集合に含める
- 発散する速さに応じて色をつけると、美しい模様が現れる！
生徒：「え！ 計算を続けるだけで、あの幻想的な模様が生まれるんですか？」
先生：「そうなんだよ！ しかも、選ぶ ccc の値によって形がまったく変わるんだ。」
- c=0.355+0.355ic = 0.355 + 0.355ic=0.355+0.355i のとき → 木の枝のような形
- c=−0.8+0.156ic = -0.8 + 0.156ic=−0.8+0.156i のとき → サンゴ礁のような形
生徒：「うわー、数学なのにアートみたいですね！」
マンデルブロ集合とは？
生徒：「ジュリア集合は分かりました！ 次に、マンデルブロ集合って何ですか？」
先生：「いいね！その調子！ 実はマンデルブロ集合は、ジュリア集合と深い関係があるんだ。」
生徒：「関係がある？」
先生：「そう。ジュリア集合は ccc を固定して、zzz を色々変えて作るよね？」
生徒：「はい。」
先生：「それに対して、マンデルブロ集合は z0=0z_0 = 0z0=0 に固定して、ccc を色々変えて作るんだ。」
生徒：「えっ、それだけで何が変わるんですか？」
先生：「こうなるよ。」
- ccc がマンデルブロ集合に含まれる場合 → ジュリア集合は「つながった形」になる
- ccc がマンデルブロ集合に含まれない場合 → ジュリア集合は「バラバラになった形」になる
生徒：「マンデルブロ集合って、ジュリア集合の地図みたいなものなんですか？」
先生：「その通り！ しかも、マンデルブロ集合の端を拡大すると、なんとジュリア集合が埋め込まれているんだよ！」
生徒：「えっ、マンデルブロ集合の中にジュリア集合が隠れてるんですか！？ まるでマトリョーシカ人形みたい…。」
先生：「まさにそう！ 何度も何度も拡大すると、小さなジュリア集合が無限に現れるんだ。」
数学 × アートの世界
生徒：「今日の話、めっちゃ面白かったです！ 数学なのに、アートみたいな世界があるなんて！」
先生：「そうなんだよ。数学って、ただの計算だけじゃなくて、こういう美しい図形やパターンを作り出せるんだ。」
生徒：「ジュリア集合は、ある ccc で作るフラクタル。マンデルブロ集合は、それがつながるかどうかを見る地図…ですね！」
先生：「その通り！ 最近では、これらのフラクタルを使ったデジタルアートやCG、さらには音楽まで登場しているんだよ。」
生徒：「すごい！ Pythonとかで描けますか？」
先生：「描けるよ！ もし興味があれば、ぜひプログラムを書いて試してみてね！」
生徒：「はい！ なんだか数学が楽しくなってきました！」
先生：「その調子！ またいつでも質問してね！」