2024年9月6日
YBA数学コラム ｜ 計算の技術
交換法則と結合法則
——計算を「楽な形」に作り変える2つの技
対象：小学生〜中学生 ／ テーマ：正負の数・文字式・暗算の工夫
暗算が苦手な人は、計算が遅いのではなく、順番を変えていないだけかもしれません。
多くの人は、算数・数学の計算は「左から順番に解くもの」だと思っています。しかし実際には、足し算と掛け算には「順番を入れ替えてもOK」「どこから計算してもOK」という2つのルールが備わっており、これを使うだけで、手ごわい暗算が一瞬で片づきます。
正確には「左から解く」ことは間違いではありません。ただ、それだけが正解でもないのです。小学生から中学生まで、段階を追って丁寧に解説します。
1｜交換法則・結合法則とは何か
まず、それぞれの法則を一言で整理しましょう。ふつうの数の足し算・掛け算では、次のルールが成り立ちます。
| 🔄 交換法則（こうかんほうそく） | 🔗 結合法則（けつごうほうそく） |
|---|---|
| 「順番を入れ替えても答えは同じ」 a＋b ＝ b＋a a×b ＝ b×a | 「どこから先に計算しても答えは同じ」 (a＋b)＋c ＝ a＋(b＋c) (a×b)×c ＝ a×(b×c) |
| 例：3＋5 ＝ 5＋3 ＝ 8 2×6 ＝ 6×2 ＝ 12 | 例：(2＋3)＋4 ＝ 2＋(3＋4) ＝ 9 (2×3)×4 ＝ 2×(3×4) ＝ 24 |
⚠️ 引き算・割り算の場合
そのままの引き算・割り算では成り立ちません（5−3 と 3−5 は答えが違います）。
ただし、中学数学以降では引き算を「負の数を足す」と読み替えることで、足し算のルールとして使えるようになります。くわしくは セクション3 で解説します。
▶ 計算例で確認する
🔄 交換法則の確認 3 ＋ 5 ＝ 8 | 🔗 結合法則の確認 （2＋3）＋4 ＝ 5＋4 ＝ 9 順番は変えずに、どこで区切って先に計算するかを変えるルール。 |
2｜小学生で使える！計算が楽になる実例
2つの法則を組み合わせると、一見ハードに見える暗算が一瞬で解けます。
【足し算の例】38 ＋ 17 ＋ 62
| 🔄 交換法則 | 17 と 62 を入れ替えて 38 ＋ 62 ＋ 17 にする。 |
| 🔗 結合法則 | （38 ＋ 62）を先に計算 → 100 |
| ◎ 答え | 100 ＋ 17 ＝ 117 |
【掛け算の例】25 × 7 × 4 を暗算で解け
| ❶ 普通に解くと… | 25×7＝175、次に 175×4＝… 筆算が必要で大変。 |
| 🔄 交換法則 | 7 と 4 の位置を入れ替えて、25 × 4 × 7 にする。 |
| 🔗 結合法則 | (25 × 4) を先に計算して、100 を作る。 |
| ◎ 答え | 25 × 4 ＝ 100 → 100 × 7 ＝ 700 |
ポイント：「10 や 100 などキリのよい数を自分で作る」ことが、この2つの法則の最大の使い道です。
3｜中学数学での使い方
中学数学ではマイナス（負の数）と文字式が登場します。
引き算を「マイナスの数を足す」と読み替えることで、小学校で学んだ交換・結合の法則がそのまま使えます。
① 正負の数（マイナスの数）
| 🔄🔗 交換＋結合の組み合わせ① | 🔄🔗 交換＋結合の組み合わせ② |
|---|---|
| 問題：−3 ＋ 9 ＋ 3 🔄 交換法則で −3 と 9 を入れ替え → 9 ＋ (−3) ＋ 3 🔗 結合法則で (−3)＋3 をカッコでまとめる → 9 ＋ 〔(−3)＋3〕 (−3)＋3 ＝ 0 で消えて、答えは 9 | 問題：−18 ＋ 7 − 2 まず −2 を ＋(−2) と見る。 🔄 交換法則で 7 と (−2) を入れ替え → −18 ＋ (−2) ＋ 7 🔗 結合法則で −18＋(−2) をまとめる → 〔−18＋(−2)〕＋ 7 ＝ −20 ＋ 7 答えは −13 |
◎ 鉄則：符号は数字とセットで動かす
−2 を移動するときは「−」も必ず一緒に連れていきます。符号を置き去りにすると計算が崩れます。第1問の ＋14 を動かすときも、「プラス」ごとセットで移動していることを意識しましょう。
② 文字式
| 🔄 交換法則で「仲間を集める」 | 🔗 結合法則で「係数をまとめる」 |
|---|---|
| 問題：3x ＋ 5 ＋ 2x ＋ (−1) −1 は ＋(−1) と見て符号ごと動かす。 🔄 入れ替えて 3x ＋ 2x ＋ 5 ＋ (−1) x の仲間：3x＋2x ＝ 5x（同類項の整理） 数字の仲間：5＋(−1) ＝ 4 答え：5x ＋ 4 | 問題：2 × (3x) 3x は 3×x の省略なので、実は 2×(3×x)。 🔗 カッコの位置を変えて (2 × 3) × x 数字同士を先にまとめると 答え：6x |
◎ 補足：3x＋2x＝5x になる理由
交換法則で同じ仲間を隣に集めた後、同類項の整理（x がついた項をまとめる計算）を行っています。交換法則だけで 5x になるわけではなく、「集める→まとめる」の2ステップになっていることを覚えておきましょう。
4｜確認テスト（3問）
学んだことを確認しましょう。答えを見る前に、まず自分で考えてみることが大切です。
| 第1問 | 次の計算を、技を使って楽に解いてください。 −14 ＋ 9 ＋ 14 ヒント：プラスとマイナスで同じ数字のペアを探してみよう。符号ごとセットで動かすのを忘れずに。 |
| 第2問 | 次の計算を、暗算で一瞬で解いてください。 −4 × 19 × 25 ヒント：掛けてピッタリ −100 になるペアを先に計算しよう。−4 も「マイナス付きの数」としてひとまとまりで見る。 |
| 第3問 | 交換法則で同じ仲間を集め、同類項を整理して答えを出してください。 5x − 3 ＋ 2x ＋ 8 ヒント：−3 は ＋(−3) と見て、符号ごと動かそう。 |
▶ 解答と解説を見る（クリックで開く）
| 第1問 9 | 🔄 交換法則で ＋14 を符号ごと動かして −14 ＋ 14 ＋ 9 にする。 🔗 結合法則で (−14＋14) を先に計算 → 0 残った 9 がそのまま答え。 |
| 第2問 −1900 | 🔄 交換法則で 19 と 25 を入れ替えて −4 × 25 × 19 にする。 🔗 結合法則で (−4 × 25) ＝ −100 を先に計算。（−4 はマイナスごとひとまとまり） −100 × 19 ＝ −1900。 |
| 第3問 7x ＋ 5 | −3 を ＋(−3) と見て、🔄 交換法則で並び替え → 5x ＋ 2x ＋ 8 ＋(−3) 同類項の整理：5x＋2x ＝ 7x、8＋(−3) ＝ 5 答え：7x ＋ 5 |
5｜まとめ
| 法則 | できること | 使いどころ |
|---|---|---|
| 🔄 交換法則 | 順番を入れ替える | キリのよい数のペアを近づける。同類項を隣に並べる。 |
| 🔗 結合法則 | 計算する場所を変える | 近づけたペアを先にまとめる。数字同士を先に掛ける。 |
◆ この2つの法則が「使える」状態になると…
- 複雑な暗算を、自分で「楽な形」に作り変えられる
- 中学数学の同類項の整理が、意識せずスムーズにできる
- 高校以降の多くの代数計算でも、同じ発想が土台になる
数学の計算は「ルールをただ覚える」のではなく、「なぜ変えてもよいのか」を理解することが力になります。今回の交換法則・結合法則は、その出発点です。
次に手ごわい暗算に出会ったとき、あなたはどこで順番を入れ替え、どこをキリのよい数にするでしょうか。
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