2023年9月3日
こんにちは！今日は、開成高校の過去問題から、方程式 9xy−6x−3y−75=0 を満たす整数 x, y の組を
求める問題に挑戦します。一緒に解いてみましょう。
手順1: 式の変形
まず、方程式を整理してみましょう。
9xy−6x−3y−75=0
式を整理すると、次のようになります
9xy−6x−3y+2−77=0
手順2: 因数形への変換
次に、方程式の左側を因数の形に変換します。具体的には
(3x−1)(3y−2)=9xy−6x−3y+2
これを使用すると、方程式は次のように変形されます
(3x−1)(3y−2)=77
手順3: 77の因数分解
77の因数分解を行うと
77=7×11
となります。
手順4: 整数解の探索
方程式 (3x−1)(3y−2)=77 から、以下の整数ペアが考えられます
(3x−1,3y−2)=
(1,77),(7,11),(11,7),(77,1),(−1,−77),(−7,−11),(−11,−7),(−77,−1)
手順5: 余りの条件
3で割った余りから、次の4組だけが実際に考えられます
(3x−1,3y−2)=(11,7),(77,1),(−1,−77),(−7,−11)
手順6: 解の導出
これらを解くと、整数解は次の4つになります
(x,y)=(4,3),(26,1),(0,−25),(−2,−3)
以上が、開成高校の過去問題からのこの問題の解き方です。因数分解を駆使して、整数解を見つけることが
できました。これらの手法は、他の問題にも適用できるので、ぜひ覚えておきましょう。