MATHEMATICS

「0.9999…＝1」は本当か
――定番の3つの説明が、言わずに済ませていること

「0.9999…（9が無限に続く数）は、1と同じである」。これは数学として正しい命題です。ところが、この話を初めて聞いた人のほとんどが「いや、ほんの少しだけ1より小さいはずだ」と感じます。

ネット上には、この違和感を解消する定番の説明がいくつも並んでいます。どれもうまくできています。ただし――そのどれもが、ある一点について沈黙しています。この記事では、定番の説明を押さえたうえで、その沈黙の中身まで踏み込みます。

1. なぜ引っかかるのか――違和感の正体

「0.9999…」という表記を見た瞬間、私たちの頭の中では、ある映像が自動再生されます。

9がどんどん増えていく映像です。そして、この映像に映っている数はすべて、確かに1より小さい。だから「1には届かない」と感じる。

この感覚そのものは、まったく正しいのです。間違っているのは、この映像を「0.9999…」だと思ってしまうこと。「…」は9を追加し続けている途中経過ではなく、有限小数の列が向かう先を表す記号です。

この記事の中心命題を、先に置いておきます。動いているのは 0.9、0.99、0.999、… のほうであって、0.9999… そのものではありません。

2. よく使われる3つの説明

◆ 説明① 3分の1を3倍する

1÷3＝0.3333… であることは、電卓でも確かめられます。両辺を3倍すれば、左辺は 1／3×3＝1、右辺は 0.3333…×3＝0.9999…。したがって 1＝0.9999…。

◆ 説明② 間に数が入らない

異なる2つの数の間には、必ず別の数があります。0.9と1の間には0.95、0.99と1の間には0.995。では、0.9999…と1の間にある数は――9がもう無限に並んでいるので、後ろに新しい数字を置く場所がありません。間に何も入らない2数は同じ数だ、というわけです。

◆ 説明③ 10倍して引く

3. 3つの説明が黙っていること

ここからが本題です。ただし先に、はっきり断っておきます。上の3つは、どれも間違っていません。問題は、間違っていることではありません。土台を説明せずに、その上だけを見せていることです。

共通しているのは同じ一点です。「0.9999… とは、そもそも何を意味する記号なのか」を先に決めないと、本当はどの説明も動き出せない。3つはいずれも、その決定を済ませたことにして先へ進んでいます。

4. 「…」の正体――定義から始める

ここで、よくある言い方を一つ訂正します。0.9999… は、1に近づいてなどいません。近づくという動きをしているのは、まったく別のものです。それを見るために、まず記号の意味を確定させます。

高校数学まで進むと、この記号の意味がはっきり与えられます。0.9999… とは、次の無限個の足し算のことです。

ただし「無限個を足す」という操作そのものは、そのままでは意味を持ちません。そこで数学は、途中まで足した数（部分和）の列を考えます。

n番目の部分和と1との差は、10のn乗分の1。ここで決定的なのは次の事実です。どんなに小さな正の数を持ってきても、ある番号から先は、差がずっとその数より小さくなる。この状態を「極限が1である」と言います。

等比級数の公式（初項a、公比r、|r|＜1のとき和は a／(1−r)）を使えば、a＝0.9、r＝0.1 で、0.9／(1−0.1)＝0.9／0.9＝1。

この2つは、見た目が似ているだけのまったく別の対象です。違和感の正体は、上の行を見ながら下の行の話をしていた、というすれ違いにあります。

したがって、0.9999…＝1 は「不思議な発見」ではありません。「…」の意味を極限と定めた、その定義から必然的に出てくる結論です。

なお、この話をするときによく使われる「1に永遠に届かない微小な差を、無限の力でゼロに押しつぶす」といった表現は、イメージとしては魅力的ですが正確ではありません。0.9999… という実数と1との間には、押しつぶすべき差が最初から存在しないのです。差が存在するのは、0.9、0.99、0.999、… と1との間だけです。

◆ 土台が入ると、3つの説明は本物になる

意味が確定した時点で、2章の3つの説明はそれぞれ正式な証明に昇格します。たとえば説明②は、こう書き直せます。（以下の枠内は高校数学の内容です。飛ばしても本筋は通ります）

「書く場所がない」ではなく、「その数を仮に置くと矛盾が起きる」。発想は同じでも、証明としての強さはまったく違います。この差を生んだのは、間に置かれた一行の定義だけです。

5. なぜ同じ数に2つの名前があるのか

私たちは「1つの数の書き方は1通り」と思い込んでいます。しかし小数表記というのは、数字の並びから実数への対応にすぎません。この対応は、すべての実数を書き表せる一方で、同じ数を2通りに書けてしまう場合があるのです。

ただし、この二重表記を持つのは有限小数として表せる数だけです。10進法でいえば、分母が2と5だけでできている分数がそれにあたります。1／3＝0.3333… には、もう一つの書き方はありません。

そしてこれは10進法固有の欠陥でもありません。2進法では 0.111…＝1、3進法では 0.222…＝1 となります。位取り記数法という仕組みを採用した時点で、必ず生じる仕様だということです。

6. 鋭い生徒からの2つの反論

◆「無限に小さい差があるのでは？」

実数の世界には、0ではないのにどんな正の数よりも小さい数（無限小）は存在しません。これはアルキメデスの性質と呼ばれます。したがって 1−0.9999… は、0であるか、ある正の大きさを持つかのどちらかです。正の大きさを持つなら、その半分だけ手前に別の数が置けるはずですが、置けない。ゆえに0です。

◆「無限小を認める数体系ならどうなる？」

超実数のように無限小を持つ体系は実際に存在します。ただし注意が必要です。そうした体系においても、0.9999… を「0.9、0.99、0.999、… という実数列の極限」と読む限り、値は1のままです。「無限番目の桁で打ち切った数」は別の対象であって、「9が無限に続く小数」という記号の通常の意味ではありません。答えが変わるように見えるときは、記号の意味そのものを取り替えているのです。

7. 教える側の使い分け

3章で説明③の前提の危うさを指摘しましたが、それは「使うな」という意味ではありません。危ないのは③そのものではなく、仮定を伏せたまま使うことです。「無限桁でも同じ規則が使えると仮定している」と一言添えるだけで、③はその学年にとって正直な説明になります。

納得しない生徒に対して、①や③を繰り返し押しつけるのは逆効果です。その生徒は、説明が飛ばしている場所を正確に嗅ぎつけているからです。

この話が本当に教えていること

数学では、記号を使う前に、その記号が何を意味するかを定めます。「無限に続く小数」も例外ではありません。0.9999…＝1 という等式は、驚くべき発見ではなく、その取り決めが最後まで破綻なく働いていることの現れです。

そして生徒が最初に感じる違和感は、間違いなどではありません。それは「ここには定義が必要だ」という、数学のいちばん大事な場所を、直感が正確に指し示しているということなのです。

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