2005年（平成17年）京都大学後期　数学（理系）第6問

表と裏をひっくり返したら、答えが見えた

コインの「見方」を変えるだけで、複雑な確率が一瞬で解ける

100円玉を n 枚、500円玉を n＋1 枚、同時に投げる。「500円玉のほうが表の枚数が多い確率を求めよ」──この問いに正面から向かうと、二項係数を用いた総和計算が複雑に絡み合い、かなり面倒になる。

しかし答えは 1/2 だ。そしてその理由は、式変形の技巧ではなく、たった一度の「視点の転換」で説明できる。

解法①　全コインをひっくり返す──対称性の論理

まず、求めたい確率を事象として整理する。

E と E^c は互いに補事象の関係にあるから、P(E) ＋ P(E^c) ＝ 1。

ここで、すべてのコインの表と裏を一斉にひっくり返す操作を考える。

どの表裏の並びも同じ確率 (1/2)²ⁿ⁺¹ で起こるため、反転しても確率分布は変わらない。

では、ひっくり返した後に何が起きるか。100円玉の表の枚数を m、500円玉の表の枚数を j とすると、操作後はそれぞれ n－m、(n＋1)－j になる。

操作後の「500円玉の表 ＞ 100円玉の表」という条件を整理すると

つまり、ひっくり返した後に「事象 E が成立する」ことは、元の状態で「事象 E^c が成立していた」ことと同じだ。

◎ n = 2 の場合で確かめる

しかも、この反転操作はもう一度行えば元に戻る。したがって事象 E に属する各結果と事象 E^c に属する各結果は、完全な一対一の対応関係にある。確率分布も保たれているから、P(E) ＝ P(E^c)。

P(E) ＋ P(E^c) ＝ 1 と合わせれば、答えは即座に出る。

n の値に関わらず、この論理は常に成り立つ。

解法②　最後の1枚を後から追加する

解法①だけで答えは出る。ここからは、同じ結論を別の角度から確かめる。

本問の鍵は500円玉が 1 枚だけ多いことにある。その「余分な1枚」を後から投げ加える、という発想だ。ここでは p の値そのものは求めず、最後に p が消える構造を利用する。

まず、コインを「n 枚の100円玉」と「n 枚の500円玉」の計 2n 枚で投げる場面を想定する。枚数が等しいため、表の出る枚数の分布は完全に対称になる。この段階での確率を次のように置く。

ここへ、もう1枚の500円玉を投げ加える（表になる確率は 1/2）。

3つの寄与を足し合わせると

p が完全に消えた。n 枚ずつのときの確率 p が何であるかに関わらず、答えはちょうど 1/2 になる。

二つの解法が示すもの

解法①と解法②は、アプローチこそ違うが同じ本質を指している。

どちらの解法も、二項係数を用いた総和計算を一切使わない。この問題は、数え上げより「見方の正確さ」が重要であることを教えてくれる。

この問題が問いかけること

大学入試において計算力は確かに重要だ。ただ、単なる式変形の速さよりも対称性を見抜く力を重視する、京大らしさがこの問題には感じられる。「対称性」という概念──同じ状況を別の座標系から眺めること──は、確率論だけでなく代数・幾何・解析のいたるところに顔を出す。

答えは 1/2。しかしそこに辿り着く「視点」こそが、数学を学ぶ本当の理由だ。

コインの表と裏は対等である。その当たり前の事実を、どこまで精密に言語化できるか。京大はそれを問うていた。