2026年5月25日
文 系 ・ 理 系 共 通 問 題
赤玉4個が1つも隣り合わない確率
| 文系数学 大問3（1） | ／ | 理系数学 大問2（1） |
2023年 東京大学 入学試験 場合の数・確率
問題文
袋の中に、黒玉3個・赤玉4個・白玉5個が入っている。
この袋から玉を1個ずつ取り出し、取り出した順に左から横一列に並べる。
すべての取り出し方が同じ確率で起こるとする。
このとき、4個の赤玉が1つも隣り合わない確率を求めよ。
※本記事では、入試問題を参考に、学習用に表現を整理して掲載しています。解説・表・構成はYBA教育研究会によるオリジナルです。
問題の整理
玉は合計12個（黒3・赤4・白5）。同じ色の玉は区別しません。この12個を横一列に並べるとき、赤4個が互いに隣り合わない並べ方の確率を求めます。
| 色 | 個数 | 役割 |
| 黒 | 3個 | 先に並べる側（すき間を作る） |
| 赤 | 4個 | あとからすき間に入れる側（条件の主役） |
| 白 | 5個 | 先に並べる側（すき間を作る） |
| 合計 | 12個 |
解法の核心 ― 「すき間に入れる」発想
「隣り合わない」問題で多くの受験生が陥るのが、余事象で解こうとすることです。しかし「少なくとも2個の赤が隣り合う」場合は「2個隣・3個隣・4個隣」と細かく分類しなければならず、かえって計算が煩雑になります。
正解の手順はシンプルです。赤玉を並べるのは最後にします。先に赤以外を並べてしまえば、自然とすき間ができます。そのすき間に赤玉を1個ずつ入れれば、隣り合う赤は生まれません。
STEP 1 赤以外（黒3＋白5） | → | STEP 2 8個の前後・間に | → | STEP 3 9か所から4か所を選び |
この順で考えると「隣り合わない」が自動的に保証される
計算① ｜ 全体の場合の数
12個（黒3・赤4・白5）を横一列に並べる方法は、重複のある順列の公式で求めます。
12! ÷ (3! × 4! × 5!)
＝ 479001600 ÷ (6 × 24 × 120) ＝ 479001600 ÷ 17280
＝ 27720 通り
同じ色の玉は区別しないため、同色の並べ替え分（黒3!・赤4!・白5!）で割る
計算② ｜ 赤以外（黒3・白5）の並べ方
まず赤以外の8個を並べます。
8! ÷ (3! × 5!)
＝ 40320 ÷ (6 × 120) ＝ 40320 ÷ 720
＝ 56 通り
₈C₃（8か所から黒を置く3か所を選ぶ）と同じ値になることも確認できる
計算③ ｜ すき間に赤玉を入れる
8個を並べると、その前後と間に合わせて 8＋1 ＝ 9か所 のすき間ができます。
□ ① | ○ | □ ② | ○ | □ ③ | ○ | □ ④ | ○ | □ ⑤ | ○ | □ ⑥ | ○ | □ ⑦ | ○ | □ ⑧ | ○ | □ ⑨ |
□ すき間（9か所） ○ 赤以外の玉（8個）
この9か所から、赤玉4個を入れる4か所を選びます。赤玉は同色で区別しないので「どこを選ぶか」だけを考えればよく、組み合わせ（₉C₄）を使います。
※ 1つのすき間に赤玉を2個入れると赤同士が隣り合ってしまいます。選んだ4か所のすき間にそれぞれ1個ずつ入れるので、この条件は自動的に満たされます。
₉C₄ ＝ 9! ÷ (4! × 5!)
＝ 362880 ÷ (24 × 120) ＝ 362880 ÷ 2880
＝ 126 通り
₉P₄ ÷ 4! ＝ (9×8×7×6) ÷ 24 ＝ 3024 ÷ 24 ＝ 126 と計算してもよい
確率を求める
条件を満たす並べ方は 56 × 126 ＝ 7056 通り。全体は 27720 通りですから——
確率 ＝ 7056 ÷ 27720
| 7056 | ＝ | 14 |
| 27720 | 55 |
7056 と 27720 の最大公約数は 504 → 7056÷504＝14、27720÷504＝55
■ ANSWER
| 14 |
| 55 |
よくあるミスと対策
| ミスのパターン | なぜダメか・正しい考え方 |
| 余事象（隣り合う場合を全体から引く）で解こうとする | 「少なくとも2個が隣り合う」場合は2個隣・3個隣・4個隣と細分類が必要になりかえって複雑。この問題は直接法の方が圧倒的に速い。 |
| すき間を「7か所」と間違える | 8個を並べた間だけ数えると7か所だが、両端にも1か所ずつある。正しくは 8＋1＝9か所。 |
| 赤玉を区別して ₉P₄ ＝ 3024 を使ってしまう | 赤玉4個は同色で区別しない。「どのすき間を選ぶか」だけを考えればよいので ₉C₄ ＝ 126 が正しい。₉P₄はその4!＝24倍になってしまう。 |
文系・理系それぞれへのメッセージ
文系受験生へ 大問3の（1）は必ず得点したい問題です。「すき間」の発想さえ身についていれば計算量は多くなく、試験時間内に確実に解ける。ここを取って大問3全体の足場を作りましょう。 | 理系受験生へ 大問2の（1）は（2）以降へ続く導入問題です。ここを素早く正確に処理できるかどうかが（2）への時間を左右します。「すき間」の手順をルーティン化して、スピードを上げておきましょう。 |
「すき間に入れる」は汎用パターン
この解法は「特定の種類の玉が隣り合わない」問題全般で使えます。一般化すると次のようになります。
① 対象の玉（k 個）以外を先に並べる → 対象以外の並べ方を求める
② 並べた個数を n とすると、すき間は n ＋ 1 か所できる
③ そのすき間から k か所を選ぶ → ₍ₙ₊₁₎Ck
条件を満たす並べ方の総数 ＝ ① × ③
本番の答案ではこう書く
試験本番では、上の丁寧な解説をすべて書く必要はありません。論理の流れが伝わる最小限の式と言葉で十分です。
■ 答案例
黒3個・赤4個・白5個を横一列に並べる場合の数は
12! ÷ (3!4!5!) ＝ 27720
赤玉が隣り合わない並べ方を数える。
まず赤以外の黒3・白5の8個を並べると，その場合の数は
8! ÷ (3!5!) ＝ 56
この8個の前後と間に9か所のすき間ができる。
9か所から4か所を選んで赤玉を1個ずつ入れると，赤玉は隣り合わない。
₉C₄ ＝ 126
よって，条件を満たす並べ方は 56 × 126 ＝ 7056
したがって，求める確率は
7056 ÷ 27720 ＝ 14/55
YBA教育研究会 ｜ 数学解説記事
YBA教育研究会では、各教科の学習を、単なる暗記や作業ではなく、「なぜそうなるのか」を考えるところから指導しています。
世田谷・経堂で完全1対1の個別指導をお探しの方は、ぜひご覧ください。 → 経堂の完全1対1個別指導｜YBA教育研究会の指導内容はこちら